Aleksander jest prezesem i założycielem Centrum Praw Człowieka „Wiasna” oraz byłym wiceprezesem Międzynarodowej Federacji Praw Człowieka. Jest laureatem Nagrody Wolności im. Andrieja Sacharowa i innych międzynarodowych nagród w dziedzinie praw człowieka. Był pięciokrotnie nominowany do Pokojowej Nagrody Nobla, którą otrzymał w 2022 roku.
Aleksander był już wcześniej ścigany. 4 sierpnia 2011 roku został aresztowany po tym, jak Litwa i Polska przekazały dane jego konta bankowego władzom białoruskim. Oskarżono go o ukrywanie dochodów na wyjątkowo dużą skalę. 24 listopada 2011 roku sąd skazał go na karę pozbawienia wolności w kolonii karnej o zaostrzonym rygorze z konfiskatą mienia. Aleksander nie przyznał się do winy, twierdząc, że środki zostały przeznaczone wyłącznie na działalność na rzecz praw człowieka. Kraje UE, Stany Zjednoczone i międzynarodowe organizacje praw człowieka uznały go za więźnia politycznego, a jego wyrok był motywowany politycznie. Został zwolniony latem 2014 roku w ramach amnestii.
14 lipca 2021 roku Alexander został ponownie aresztowany po przeszukaniu jego mieszkania i biura w związku ze sprawą o unikanie płacenia podatków. We wrześniu 2022 roku sprawa została umorzona, ale postawiono mu nowe zarzuty przemytu i finansowania grupowej działalności rażąco naruszającej porządek publiczny.
W marcu 2023 roku został skazany na karę pozbawienia wolności i zobowiązany do zapłaty znacznego odszkodowania. W sądzie nie przyznał się do winy.
Na początku listopada 2023 roku Aleksander został umieszczony w PKT z sfingowanych powodów. W kwietniu-maju 2024 roku powrócił do swojej jednostki, ale nadal jest pod wzmożoną obserwacją. Pracuje w stolarstwie, otrzymuje kary i jest pozbawiony dostępu do paczek, rozmów wideo i korespondencji. Wiadomo, że jego poprzedni pobyt w kolonii karnej w Bobrujsku spowodował, że nadal ma problemy zdrowotne.
13 grudnia 2025 roku został zwolniony po kolejnej wizycie w Mińsku specjalnego przedstawiciela prezydenta USA Donalda Trumpa, Johna Cola, i przewieziony na Litwę.
